guruniknas.com – Ringkasan Materi Bilangan Bulat – Matematika Kelas 7.
1. Pengantar Bilangan Bulat
Bilangan merupakan dasar dari seluruh konsep matematika. Di antara berbagai jenis bilangan yang dipelajari, bilangan bulat adalah salah satu yang paling sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Bilangan bulat meliputi semua bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Dengan kata lain, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai:
Z={…,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,…}
Simbol Z berasal dari kata Zahlen dalam bahasa Jerman yang berarti bilangan.
Bilangan bulat muncul dalam berbagai konteks kehidupan nyata, misalnya:
- Kenaikan atau penurunan suhu: +5°C (naik), -3°C (turun).
- Ketinggian di atas atau di bawah permukaan laut: +200 m, -50 m.
- Keuntungan dan kerugian: +100 ribu, -75 ribu.
Dengan memahami bilangan bulat, kita dapat menggambarkan situasi yang melibatkan dua arah atau dua kondisi yang berlawanan — seperti untung-rugi, atas-bawah, maju-mundur, dan lain sebagainya.
2. Jenis-Jenis Bilangan Bulat
Bilangan bulat dapat dibagi menjadi tiga kelompok utama:
- Bilangan bulat positif
Bilangan yang lebih besar dari nol: ( 1, 2, 3, 4, … )
Biasanya ditulis tanpa tanda “+”, tetapi sebenarnya memiliki tanda positif di depannya. - Bilangan nol (0)
Bilangan yang berada di tengah antara positif dan negatif. Nol bukan bilangan positif maupun negatif.
Nol berperan penting sebagai penyimbang atau titik acuan dalam garis bilangan. - Bilangan bulat negatif
Bilangan yang lebih kecil dari nol: ( -1, -2, -3, -4, … ).
Bilangan ini menggambarkan arah atau kondisi yang berlawanan dengan bilangan positif.
3. Garis Bilangan
Untuk memudahkan pemahaman bilangan bulat, kita menggunakan garis bilangan, yaitu garis lurus yang memuat titik-titik yang mewakili bilangan.
... -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...
Ciri-ciri garis bilangan:
- Semakin ke kanan, nilainya semakin besar.
- Semakin ke kiri, nilainya semakin kecil.
- Titik nol (0) menjadi titik tengah atau acuan.
Contoh:
- Antara -3 dan +2, bilangan yang lebih besar adalah +2 karena terletak di kanan.
- Antara -5 dan -2, bilangan yang lebih besar adalah -2 (lebih mendekati nol).
4. Perbandingan Bilangan Bulat
Untuk membandingkan dua bilangan bulat, kita dapat menggunakan tanda:
- “>” artinya lebih besar dari
- “<” artinya lebih kecil dari
- “=” artinya sama dengan
Contoh:
- ( 3 > -1 ) karena 3 berada di kanan -1 di garis bilangan.
- ( -5 < -2 ) karena -5 berada di kiri -2.
- ( 0 > -4 ) dan ( 0 < 7 ).
Semakin ke kanan di garis bilangan, nilai bilangan semakin besar.
5. Nilai Mutlak Bilangan Bulat
Nilai mutlak suatu bilangan bulat adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa memperhatikan arah (positif atau negatif).
Ditulis dengan tanda dua garis vertikal, misalnya:
|a|
Contoh:
- ( |5| = 5 )
- ( |-5| = 5 )
- ( |0| = 0 )
Nilai mutlak selalu tidak negatif, karena jarak tidak pernah bernilai negatif.
6. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat
Bilangan bulat dapat dioperasikan dengan berbagai jenis operasi hitung dasar, yaitu:
- Penjumlahan
- Pengurangan
- Perkalian
- Pembagian
Mari kita bahas satu per satu.
6.1 Penjumlahan Bilangan Bulat
Penjumlahan adalah operasi dasar untuk menggabungkan dua bilangan. Pada bilangan bulat, aturan tanda harus diperhatikan.
Aturan Penjumlahan:
- Jika kedua bilangan bertanda sama, hasilnya akan bertanda sama dan nilainya adalah jumlah dari kedua angka.
- Contoh: ( (+3) + (+5) = +8 )
- Contoh: ( (-2) + (-4) = -6 )
- Jika kedua bilangan bertanda berbeda, hasilnya adalah selisih dari kedua angka dan tanda mengikuti bilangan yang nilainya lebih besar.
- Contoh: ( (+7) + (-3) = +4 )
- Contoh: ( (-8) + (+5) = -3 )
Penjumlahan di garis bilangan:
Kita dapat memvisualisasikan penjumlahan dengan melangkah ke kanan (untuk bilangan positif) atau ke kiri (untuk bilangan negatif).
Contoh:
- ( -2 + 5 ): dari -2, melangkah 5 ke kanan → hasil = 3.
6.2 Pengurangan Bilangan Bulat
Pengurangan dapat dianggap sebagai operasi kebalikan dari penjumlahan. Namun, agar lebih mudah, kita dapat mengubah pengurangan menjadi penjumlahan bilangan lawannya.
Aturan:
a – b = a + (-b)
Contoh:
- 5 – 3 = 5 + (-3) = 2
- -4 – 6 = -4 + (-6) = -10
- -7 – (-2) = -7 + 2 = -5
Dengan demikian, pengurangan bilangan negatif berarti menambah nilai positifnya.
6.3 Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian bilangan bulat mengikuti aturan tanda berikut:
| Faktor 1 | Faktor 2 | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | – | – |
| – | + | – |
| – | – | + |
Dengan kata lain:
- Dua bilangan dengan tanda sama → hasil positif.
- Dua bilangan dengan tanda berbeda → hasil negatif.
Contoh:
- ( 4 × 3 = 12 )
- ( (-4) × 3 = -12 )
- ( (-5) × (-2) = 10 )
Perkalian dengan nol:
- Bilangan apa pun dikali nol hasilnya nol.
a × 0 = 0
6.4 Pembagian Bilangan Bulat
Aturan tanda pada pembagian sama dengan perkalian:
| Pembilang | Penyebut | Hasil |
|---|---|---|
| + | + | + |
| + | – | – |
| – | + | – |
| – | – | + |
Contoh:
- 12 ÷ 3 = 4
- (-12) ÷ 3 = -4
- -12) ÷ (-3) = 4
Catatan penting: Pembagian dengan nol tidak dapat dilakukan, karena hasilnya tidak terdefinisi dalam matematika.
7. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Bulat
Beberapa sifat dasar operasi hitung berlaku pada bilangan bulat:
1. Sifat Komutatif (Pertukaran)
Berlaku untuk penjumlahan dan perkalian:
a + b = b + a
a × b = b × a
Contoh:
- ( 3 + (-2) = (-2) + 3 = 1 )
- ( (-4) × 5 = 5 × (-4) = -20 )
2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Berlaku untuk penjumlahan dan perkalian:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
3. Sifat Distributif
Perkalian dapat didistribusikan terhadap penjumlahan atau pengurangan:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
Contoh:
- 3 × (4 + 2) = 3×4 + 3×2 = 18
- (-2) × (5 – 3) = (-2×5) + (2×3) = -10 + 6 = -4
8. Operasi Campuran Bilangan Bulat
Ketika suatu soal melibatkan berbagai operasi sekaligus (misalnya tambah, kurang, kali, bagi), kita harus mengikuti urutan pengerjaan operasi yang benar.
Aturannya adalah:
- Kerjakan perkalian dan pembagian terlebih dahulu (dari kiri ke kanan).
- Kemudian kerjakan penjumlahan dan pengurangan (dari kiri ke kanan).
- Jika ada tanda kurung, kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu.
Contoh:
(-3) + 4 × (-2)
→ Kerjakan perkalian dulu: 4 × (-2) = -8
→ Lalu penjumlahan: (-3) + (-8) = -11
Contoh lain:
(5 – 8) × (-2)
→ Dalam kurung dulu: ( 5 – 8 = -3 )
→ Perkalian: ( (-3) × (-2) = 6 )
9. Penerapan Bilangan Bulat dalam Kehidupan Sehari-hari
Bilangan bulat sering digunakan dalam berbagai konteks nyata, misalnya:
- Suhu
Jika suhu pagi -3°C dan siang hari naik 5°C, maka suhu siang adalah:
-3 + 5 = 2°C - Ketinggian dan kedalaman
Gunung setinggi 500 m dan gua sedalam 200 m dapat dinyatakan dengan bilangan:
+500 dan -200 - Keuangan (untung-rugi)
Keuntungan = bilangan positif, kerugian = bilangan negatif.
Jika seseorang untung 100 ribu dan rugi 60 ribu:
+100.000 + (-60.000) = 40.000
Jadi masih untung 40.000. - Perubahan posisi atau arah
Dalam permainan atau koordinat, maju bisa dianggap positif, mundur negatif.
10. Soal Latihan dan Pembahasan Singkat
1. Hitung hasil: (-7) + 4 = ?
→ Berbeda tanda → hasil = -3
2. Hitung hasil: (-5) – (-8) = ?
→ Ubah menjadi -5 + 8 = 3
3. Hitung hasil: (-3) × (-4) ÷ 2 = ?
→ (-3)×(-4)=12 , lalu 12÷2=6
4. Tentukan nilai mutlak dari -9:
→ |-9| = 9
5. Jika suhu di pagi hari -5°C dan naik 9°C, suhu siang hari adalah:
-5 + 9 = 4°C
11. Kesalahan Umum Siswa
- Keliru tanda operasi: misalnya mengira (-5) – (-2) = -7 padahal seharusnya (-3).
- Tidak mengikuti urutan operasi: langsung menjumlah tanpa mengerjakan perkalian dulu.
- Lupa sifat nilai mutlak: mengira |-3| = -3, padahal nilainya 3.
- Tidak memahami makna negatif dalam konteks kehidupan (seperti rugi atau turun).
12. Kesimpulan
Bilangan bulat mencakup semua bilangan positif, nol, dan bilangan negatif. Konsep ini sangat penting karena digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
Untuk menguasai bilangan bulat, kita perlu memahami:
- Garis bilangan dan posisi bilangan.
- Aturan tanda dalam operasi hitung.
- Sifat-sifat operasi seperti komutatif, asosiatif, dan distributif.
- Urutan pengerjaan operasi campuran.
- Makna bilangan bulat dalam konteks nyata seperti suhu, keuangan, dan ketinggian.
Dengan memahami konsep-konsep tersebut, siswa dapat berpikir lebih logis, sistematis, dan mampu memecahkan masalah matematika dengan lebih mudah.
13. Rangkuman Singkat (Intisari)
| Konsep | Ringkasan |
|---|---|
| Himpunan Bilangan Bulat | ( {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} ) |
| Nilai Mutlak | Jarak dari nol, selalu positif |
| Penjumlahan | Sama tanda → jumlah, beda tanda → selisih |
| Pengurangan | Ubah jadi penjumlahan bilangan lawannya |
| Perkalian & Pembagian | Tanda sama → positif, tanda beda → negatif |
| Nol | Bukan positif maupun negatif |
| Urutan Operasi | Kurung → Kali/Bagi → Tambah/Kurang |
| Penerapan | Suhu, rugi/untung, ketinggian, arah |
